为什么 x^2 不总是等于 x*x
你在公寓里有一面墙和一张沙发。你用尺子测量墙的长度是7英尺，然后测量沙发的长度也是7英尺。沙发能放得下吗？
也许。如果两个测量值都恰好是7英尺，那当然可以，7 ≤ 7。但你可能没有完美地将尺子对齐到沙发上，而且尺子本身可能稍微长了一点。边缘可能存在一定的不确定性，比如1/10英尺。
与其将每个值视为精确的7英尺，我们可以说每个值在6.9英尺到7.1英尺之间。我们可以将其写成区间 (6.9, 7.1)。从这里，我们可以说区间 (a, b) "绝对小于" 另一个区间 (c, d) 如果 b < c，即第一个区间结束于第二个区间开始之前。由于 7.1 !< 6.9，我们不能确定沙发一定能靠墙放下。你的沙发实际上可能是7.1英尺，而墙是6.9英尺，或者沙发是7.05英尺，墙是7.01英尺，等等。
更多算术操作
当将一个区间与一个标量（单个数字）相加/相乘/相减/相除时，我们只需将操作应用于区间的两端。我会使用 Frink，因为它有内置的区间类型。
i[a, b] := new interval [a, b]
i[2, 4] + 2
[4, 6]
i[2, 4] * 2
[4, 8]
对两个区间进行操作则更加复杂。一般原则是“从每个区间中选择一个值，当进行操作时给出最小值，并为最大值做同样的操作”。如果你测量两个长度为3 ± 1英尺，那么它们加在一起的长度必须是6 ± 2英尺。我们可以通过将区间的最小值和最大值相加得到这个结果。
如果我们测量一个矩形的长度为 (5, 7)，宽度为 (3, 4)，它的面积是多少？乘法看起来像加法一样，只需将两个最小值和两个最大值相乘：
i[5, 7] * i[3, 4]
[15, 28]
但当区间包含负数时，这种方法就会失败。如果我们只相乘最小值和最大值，(-3, 3) * (-3, 3) 会给我们 (9, 9)。但实际上最小值应该从第一个区间中选择 -3，从第二个区间中选择3，这样得到 -9。因此真实的区间是 (-9, 9)。
那么除法呢？它工作方式类似于乘法，但如果除数区间跨越0，则结果未定义。总体而言，区间算术就像常规算术，只是多了更多头疼的问题。
天堂中的麻烦
现在，(-3, 3)² 怎么办？起初我们认为 (-3, 3)² = (-3, 3)(-3, 3)，这给了我们相同的区间 (-9, 9)。但这又是错误的。在 (-3, 3)(-3, 3) 中，我们从每个区间中选择一个数并将它们相乘，而在 (-3, 3)^2 中，我们从区间中选择一个数并将其自身相乘。因此实际区间是 (0, 9)。
但是等等，这不意味着 x*x != x^2 吗？是的，它确实意味着。呃，不，它不意味着。也许。这取决于我们对“x”的理解。
两种解释
- x 是区间 (-3, 3) 中的某个值，但我们不知道它是什么。因此 x*x 是同一个值两次，所以应该是 (0, 9)。
- x 是“散布”在整个区间中的。那么 x*x 可以被视为两个独立的区间，给出 (-9, 9)。
通常人们使用区间表示 [1]，但我见过的大多数区间算术系统使用 [2]，或者至少是两者的混合，更倾向于 [2]。
有两个原因。首先，你可以在局部推理 [2]。考虑方程 y = sin(x)cos(x)，其中 x 是区间 (0, 2π)。计算 y 在 [2] 下很容易：它只是 (-11, 1*1) = (-1, 1)。但在 [1] 下这是不可能的，因为 sin 在 cos 为0时才是 ±1！在 [1] 下实际的区间是 (-0.5, 0.5)。
注意 (-0.5, 0.5) 是 (-1, 1) 的子区间。这是另一个假设 [2] 的原因：结果总是覆盖 [1]。
尽管如此，[2] 导致很多奇怪的行为，比如 x*x != x^2。这被称为过度确定性，并导致过度估计，即你的区间界限太宽，对你来说没有太大用处。Frink 尝试聪明地处理这种情况，有时会重写区间算术以避免过度确定性，即使你希望区间有所不同。
如果我们将相同的值区间分配给不同的变量，那么这些解释对于 (-3, 3) 就没有任何区别了。
x = i[-3, 3]
y = i[-3, 3]
x*y
[-9, 9]
对你的影响
# Python time!
>>> x = 0.3
>>> x + 0.00000000000000001
0.3
>>> x + 0.00000000000000002
0.3
>>> x + 0.00000000000000003
0.30000000000000004
如果一个（双精度）浮点计算落在区间 (0.3 - 3e-17, 0.3 + 3e-17) 内，它会被折叠为值0.3。这导致了一些建议使用区间算术代替浮点数。一个区间可能不如单个浮点数精确，但它会更准确：你不会得到一个确切的数字，但你会知道正确的数字在这个范围内。而一堆浮点计算总会给你一个确切的数字，但它可能离实际答案非常远。
这些建议自浮点数出现以来一直存在。IEEE-754标准之父William Kahan写了一篇文章，解释为什么区间算术不能取代浮点数。他的论点回到过度估计：在大多数计算中，区间边界变得太大而没有用处。
他在2006年写了这篇文章。从那以后，有一个新的大规模区间算术提案：John Gutafson 的通用数字。我认为他的posit版本不是区间，但我不确定？这远远超出了我的专业领域。不过我可以告诉你，Gustafson 和 Kahan 相互厌恶。
这是区间与计算机科学之间的主要联系。当然，还有一些特定领域中区间非常重要，比如制造公差。